亚纯解是复微分方程的重要研究对象之一。十九世纪80年代，Kovalevskaya考虑了刚体的运动方程，对于一些特殊的参数，欧拉和拉格朗日得到了该方程的一些特解，后来这些解对应的刚体运动分别被命名为“Euler top”和“Lagrange top”。Kovalevskaya发现将他们得到的解扩展到复平面之后是亚纯的，随即她得到了该方程的通解是亚纯函数的所有参数条件。令人惊喜的是，通过分析这些特殊参数对应的方程，她得到了一个可以由超椭圆函数来表示的新解，该解对应的方程后来被命名为“Kovalevskaya top”。Kovalevskaya也因该工作获得了法国科学院颁发的博尔丹奖（The Prix Bordin）。随着Nevanlinna值分布理论的引入，我们得到了研究亚纯函数强有力的工具，随即复分析学家们对复微分方程的亚纯解展开了深入、系统的研究。

近日，深圳大学高等研究院吴成发研究员同合作者在Schwarzian微分方程的研究中取得了重要进展。自治Schwarzian微分方程具有六种标准形式，他们构造出了其中五种形式的所有超越亚纯解，以及第六种形式具有Picard例外值的所有超越亚纯解，从而基本上完全解决了自治Schwarzian微分方程亚纯解的构造问题。该研究的主要创新点为：（a）利用解的性质和值分布等理论证明其中四种形式的所有亚纯解都满足某些一阶微分方程，进而通过求解这些一阶微分方程得到这四种形式的所有亚纯解（均为椭圆函数）；（b）利用Wiman-Valiron定理和rescaling方法证明了剩余两种形式所有具有Picard例外值的超越亚纯解都满足某些一阶微分方程（其中一种形式的任何超越亚纯解都存在Picard例外值），进而求出所有该类型的解。该工作发表于国际著名期刊《Mathematische Zeitschrift》。

此前，吴成发研究员同合作者还在非线性可分解Loewy代数微分方程亚纯解的研究中取得重要进展。需要特别指出的是，该方程是由他们首次提出并命名。他们的主要结果包括

（1） 证明了绝大部分该类型方程的亚纯解都是椭圆函数或其退化情况；

（2） 关于一些特殊情况，他们详细研究了二阶的类型，并构造出了绝大部分亚纯解，其中部分解由一些特殊函数表示，如Bessel函数；

（3） 证明了绝大部分该方程都满足著名数学家Hayman提出的关于代数微分方程亚纯解增长性的猜想。

此外，他们的工作还对著名数学家Eremenko在自治代数微分方程亚纯解分类方面的工作进行了扩展。Eremenko证明了如果常系数代数微分方程满足某些条件，那么它的所有亚纯解都是椭圆函数或其退化情形，虽然验证低阶方程是否满足这些条件很容易，但是验证高阶方程是否满足这些条件却很困难，他们证明了对于任意阶数，绝大部分非线性可分解Loewy代数微分方程都满足Eremenko给出的条件。该工作发表于国际著名期刊《Israel Journal of Mathematics》。

上述工作得到了国家自然科学基金（11701382，11971288）和广东省自然科学基金（2021A1515010054）等项目的资助。

文章链接：

https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-021-02855-y

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